Cours de Mathématiques – Terminale

Une limite décrit le comportement d'une fonction quand x tend vers un réel ou vers l'infini. Elle permet de trouver les asymptotes horizontales, verticales et obliques d'une courbe. On lève les formes indéterminées par factorisation, par expression conjuguée ou par les théorèmes de comparaison et des gendarmes. Une fonction est continue en a si lim x→a f(x) = f(a). Le théorème des valeurs…

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Chapitre à lire gratuitement : Limites et continuité

1. Limites à l'infini et limites de référence

Définition : lim x→+∞ f(x) = ℓ signifie que f(x) est aussi proche de ℓ que l'on veut dès que x est assez grand. lim x→+∞ f(x) = +∞ signifie que f(x) dépasse tout réel A dès que x est assez grand.

Limites de référence (n entier, n ≥ 1) :

lim x→+∞ xⁿ = +∞

lim x→+∞ 1/xⁿ = 0

lim x→+∞ √x = +∞

En −∞, xⁿ tend vers +∞ si n est pair et vers −∞ si n est impair.

Propriété : en ±∞, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.

Exemple : lim x→+∞ (3x² − x + 1)/(x² + 4) = lim x→+∞ 3x²/x² = 3.

2. Limite en un réel a et asymptotes

On distingue la limite à gauche (x→a⁻) et la limite à droite (x→a⁺).

Exemple : lim x→2⁺ 1/(x − 2) = +∞ et lim x→2⁻ 1/(x − 2) = −∞.

Définition : asymptotes à la courbe de f.

• Si lim x→±∞ f(x) = ℓ, la droite y = ℓ est asymptote horizontale.
• Si lim x→a f(x) = ±∞ (à gauche ou à droite), la droite x = a est asymptote verticale.
• Si lim x→+∞ [f(x) − (ax + b)] = 0, la droite y = ax + b est asymptote oblique. La position de la courbe s'étudie avec le signe de f(x) − (ax + b).

3. Opérations et formes indéterminées

Les limites de sommes, produits et quotients se calculent avec la règle des signes. Quatre cas sont indéterminés : +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0.

Méthode : lever une forme indéterminée.

• Factoriser le terme dominant : x² − 3x = x²(1 − 3/x), qui tend vers +∞ quand x→+∞.
• Utiliser l'expression conjuguée : √(x² + 1) − x = 1/(√(x² + 1) + x), qui tend vers 0 en +∞.
• Simplifier une fraction : (x² − 4)/(x − 2) = x + 2, qui tend vers 4 quand x→2.

4. Théorèmes de comparaison

Propriété : au voisinage de +∞, si f(x) ≥ g(x) et lim g = +∞, alors lim f = +∞. Si f(x) ≤ g(x) et lim g = −∞, alors lim f = −∞.

Démonstration : soit A un réel. Pour x assez grand, g(x) > A, donc f(x) ≥ g(x) > A. Ainsi f(x) dépasse tout réel A.

Propriété (théorème des gendarmes) : si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et si lim g = lim h = ℓ, alors lim f = ℓ.

Démonstration : tout intervalle ouvert I contenant ℓ contient g(x) et h(x) pour x assez grand. Comme f(x) est entre les deux, f(x) appartient à I.

Exemple : −1/x ≤ sin x / x ≤ 1/x pour x > 0, donc lim x→+∞ sin x / x = 0.

5. Continuité

Définition : f est continue en a si lim x→a f(x) = f(a). Elle est continue sur un intervalle si elle l'est en chaque point de cet intervalle.

Propriété : les polynômes, les fractions rationnelles (sur leur ensemble de définition), la fonction racine carrée, sinus et cosinus sont continues. Les sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues.

Remarque : une fonction dérivable en a est continue en a. La réciproque est fausse : x ↦ |x| est continue mais non dérivable en 0.

Prolongement par continuité : f(x) = (x² − 1)/(x − 1) n'est pas définie en 1, mais lim x→1 f(x) = 2. On pose f(1) = 2 et f devient continue en 1.

6. Théorème des valeurs intermédiaires

Propriété (TVI) : si f est continue sur [a ; b], tout réel k compris entre f(a) et f(b) possède au moins un antécédent c dans [a ; b].

Corollaire : si de plus f est strictement monotone sur [a ; b], cet antécédent est unique. En effet, deux réels distincts ont des images distinctes.

Exemple : f(x) = x³ + x − 1 est continue et strictement croissante sur ℝ (f '(x) = 3x² + 1 > 0). Comme f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1), l'équation f(x) = 0 a une seule solution α dans ]0 ; 1[. De plus f(0,68) < 0 < f(0,69), donc 0,68 < α < 0,69.

7. Limite d'une fonction composée

Propriété : si lim x→a u(x) = b et lim X→b f(X) = ℓ, alors lim x→a f(u(x)) = ℓ.

Exemple : lim x→+∞ (2x + 1)/x = 2, donc lim x→+∞ √((2x + 1)/x) = √2.

8. Méthode pour le BAC

• Identifier d'abord la forme de la limite, puis choisir la technique : factorisation, conjugué, comparaison ou gendarmes.
• Pour une asymptote, calculer la limite et conclure par une phrase : « la droite d'équation ... est asymptote à la courbe en ... ».
• Pour appliquer le TVI, vérifier trois choses : continuité, signe aux bornes, et stricte monotonie pour l'unicité.
• Donner un encadrement de la solution en calculant des images à la calculatrice.