Cours de Statistiques et économétrie – Licence 2

La statistique descriptive résume une série de données par quelques nombres : des paramètres de position (moyenne, médiane, mode, quartiles) et des paramètres de dispersion (étendue, variance, écart-type, coefficient de variation). La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane beaucoup moins. Pour des données regroupées en classes, on travaille avec les centres de classes et on…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Statistique descriptive : résumés numériques et dispersion

1. Population, variable, type de données

Une étude statistique porte sur une population (par exemple les ménages de Thiès) dont les éléments sont des individus statistiques. On observe sur chacun une variable (caractère). Elle est qualitative (région, secteur d'activité) ou quantitative, discrète (nombre d'enfants) ou continue (revenu, poids). Les données chiffrées de ce chapitre sont fictives.

2. Effectifs et fréquences

Définition : l'effectif n_i d'une modalité est le nombre d'individus qui la présentent ; la fréquence est f_i = n_i / n, avec n = Σ n_i. La somme des fréquences vaut 1.

Les effectifs cumulés croissants permettent de repérer la médiane et les quartiles.

3. Paramètres de position

Définition : la moyenne arithmétique d'une série x_1, ..., x_n est

moyenne = (x_1 + ... + x_n) / n

Pour une série pondérée : moyenne = Σ n_i x_i / n.

Propriété : si y = a x + b, alors moyenne(y) = a × moyenne(x) + b. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

Définition : la médiane partage la série ordonnée en deux moitiés d'effectifs égaux. Pour n impair, c'est la valeur centrale ; pour n pair, la moyenne des deux valeurs centrales. Le mode est la valeur de plus grand effectif. Les quartiles Q1 et Q3 laissent respectivement 25 % et 75 % des observations en dessous d'eux.

Exemple : les revenus mensuels (en milliers de F CFA, données fictives) de 10 commerçants sont 120, 150, 150, 180, 200, 220, 250, 300, 350, 800. La moyenne vaut 272 et la médiane (200 + 220)/2 = 210. Le revenu 800 tire la moyenne vers le haut : sans lui, la moyenne tombe à 213,3 alors que la médiane ne passe que de 210 à 200.

4. Paramètres de dispersion

Définition : l'étendue est max − min. La variance est

V(x) = Σ n_i (x_i − moyenne)² / n

et l'écart-type est σ = √V. L'écart-type s'exprime dans l'unité de la variable.

Propriété (formule de König-Huygens) :

V(x) = moyenne des carrés − (moyenne)²

Propriété : si y = a x + b, alors V(y) = a² V(x) et σ(y) = |a| σ(x). Une translation ne change pas la dispersion.

Remarque : en inférence, on utilise souvent la variance corrigée s² = Σ (x_i − moyenne)² / (n − 1), qui est un estimateur sans biais de la variance de la population.

5. Comparer des dispersions : le coefficient de variation

Définition : le coefficient de variation est CV = σ / moyenne (souvent en pourcentage). Il est sans unité et permet de comparer des séries d'ordres de grandeur différents.

Exemple : une série de prix de moyenne 100 et d'écart-type 6,32 (CV = 6,3 %) est relativement moins dispersée qu'une série de moyenne 10 et d'écart-type 1,41 (CV = 14,1 %), même si son écart-type est plus grand.

6. Données regroupées en classes

On remplace chaque classe [a ; b[ par son centre (a + b)/2 et l'on applique les formules pondérées. La médiane se calcule par interpolation linéaire dans la classe où l'effectif cumulé atteint n/2 :

médiane = a + (n/2 − N_précédent) / n_classe × amplitude

Exemple : classes [0 ; 50[, [50 ; 100[, [100 ; 150[, [150 ; 200[, [200 ; 300[ d'effectifs 5, 9, 16, 8, 2 (n = 40). Les cumuls sont 5, 14, 30, 38, 40 ; n/2 = 20 tombe dans [100 ; 150[ et la médiane vaut 100 + (20 − 14)/16 × 50 = 118,75.

7. Moyennes particulières et pièges fréquents

• La moyenne géométrique (x_1 × ... × x_n)^(1/n) convient pour des taux de croissance : on moyenne les coefficients multiplicateurs, pas les pourcentages.
• La moyenne harmonique convient pour des vitesses ou des prix unitaires moyens à dépense constante.
• Attention : la moyenne de deux moyennes n'est la moyenne globale que si les effectifs sont égaux ; il faut pondérer.
• Attention : ne pas confondre variance (division par n) et variance corrigée (division par n − 1).

8. Retenir l'essentiel

• Choisir la médiane quand la distribution est asymétrique ou comporte des valeurs extrêmes.
• Calculer la variance par König-Huygens : moyenne des carrés moins carré de la moyenne.
• Comparer des dispersions avec le coefficient de variation.
• Pour des classes, utiliser les centres et interpoler pour la médiane.