Cours de Électromagnétisme – Licence 2

L'électrostatique étudie les champs créés par des charges immobiles. La loi de Coulomb F = q1q2/(4πε0 r²) définit le champ E et le potentiel V (E = −grad V). Le théorème de Gauss, ∮E·dS = Qint/ε0, permet de calculer le champ pour des distributions symétriques : sphère, fil, plan. Le condensateur plan, de capacité C = ε0S/d, stocke l'énergie ½CV². Le chapitre traite aussi l'énergie potentielle…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Électrostatique

1. Charge électrique et loi de Coulomb

La charge électrique est quantifiée : la charge élémentaire est e = 1,602176634 × 10⁻¹⁹ C. Elle se conserve. Deux charges ponctuelles q1 et q2 distantes de r exercent l'une sur l'autre une force dirigée selon la droite qui les joint :

F = q1 q2 / (4π ε0 r²) = k q1 q2 / r²

avec ε0 = 8,8541878128 × 10⁻¹² F·m⁻¹ et k = 1/(4πε0) = 8,9875517923 × 10⁹ N·m²·C⁻². La force est répulsive pour des charges de même signe, attractive sinon. Exemple : deux charges de 2 µC et −3 µC distantes de 10 cm s'attirent avec F = 8,988 × 10⁹ × 6 × 10⁻¹² / 0,01 ≈ 5,39 N.

2. Champ électrique et potentiel

Le champ électrique créé en M par une charge q placée en O est E = k q / r² u (u : vecteur unitaire de O vers M), en V·m⁻¹. Il obéit au principe de superposition. La force subie par une charge q' est F = q' E.

Le champ électrostatique dérive d'un potentiel scalaire : E = −grad V, soit V(r) = k q / r pour une charge ponctuelle (potentiel nul à l'infini). Le travail de la force électrique entre A et B est q'(VA − VB), indépendant du chemin. Les surfaces équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ.

3. Dipôle électrique

Deux charges +q et −q séparées de d forment un dipôle de moment p = q d. Au milieu du segment, le champ vaut E = 2kq/(d/2)² dirigé de +q vers −q. Loin du dipôle, le champ décroît en 1/r³. Une molécule d'eau est un dipôle permanent (p = 6,2 × 10⁻³⁰ C·m), ce qui explique son pouvoir solvant.

4. Théorème de Gauss

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée S est proportionnel à la charge intérieure :

∮ E · dS = Qint / ε0

Applications (symétries sphérique, cylindrique, plane) :

• Sphère uniformément chargée en volume (rayon R, charge Q) : à l'extérieur E = kQ/r² ; à l'intérieur E = kQ r/R³.
• Fil infini de densité linéique λ : E = λ/(2π ε0 r).
• Plan infini de densité surfacique σ : E = σ/(2ε0), uniforme de part et d'autre.

5. Conducteurs en équilibre et condensateur plan

Dans un conducteur en équilibre, le champ est nul à l'intérieur, le potentiel est uniforme et les charges sont réparties en surface. Au voisinage de la surface, le champ est E = σ/ε0 (théorème de Coulomb).

Un condensateur plan, formé de deux armatures de surface S séparées de d, a pour capacité C = ε0 S/d (vide). Entre les armatures, le champ est uniforme, E = V/d. Avec un diélectrique de permittivité relative εr, C = εr ε0 S/d. L'énergie emmagasinée est

U = ½ C V² = ½ Q²/C

Exemple : S = 100 cm², d = 1 mm : C = 88,5 pF ; pour V = 100 V, Q = 8,85 nC et U = 0,443 µJ.

6. Énergie électrostatique d'un système de charges

L'énergie potentielle d'un ensemble de charges est la somme sur toutes les paires : U = Σ k qi qj / rij. Pour trois charges identiques q aux sommets d'un triangle équilatéral de côté a : U = 3kq²/a.

7. Particule chargée dans un champ uniforme

Une charge q de masse m dans un champ uniforme E subit une accélération a = qE/m. Pour un électron dans E = 10⁵ V·m⁻¹, a = 1,76 × 10¹⁶ m·s⁻². Après 1 cm, v = √(2ad) ≈ 1,88 × 10⁷ m·s⁻¹ (6 % de c) : on utilise le même principe dans un tube cathodique ou un accélérateur de particules.

8. Méthode pour les devoirs et examens

• Représenter la configuration et choisir un système de coordonnées adapté.
• Pour le champ, appliquer le principe de superposition ou le théorème de Gauss si la distribution est symétrique.
• Garder les unités SI : charges en coulombs, distances en mètres.
• Vérifier le sens du champ (de + vers −) et le signe de l'énergie.