Cours de Analyse – Licence 2

Une série numérique est la suite des sommes partielles S_N = u_0 + u_1 + ... + u_N ; elle converge si cette suite admet une limite finie. Ce chapitre donne les séries de référence (géométriques, de Riemann), la condition nécessaire u_n → 0, les critères de comparaison, d'équivalence, de d'Alembert et de Cauchy pour les termes positifs, puis le critère des séries alternées et la convergence…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Séries numériques

1. Définitions et premiers exemples

Définition : soit (u_n) une suite réelle. La série de terme général u_n est la suite des sommes partielles S_N = u_0 + u_1 + ... + u_N. On dit que la série converge si (S_N) a une limite finie S ; on note S = Σ u_n (somme de la série). Sinon, elle diverge. Le reste d'ordre N est R_N = S − S_N = Σ_{n>N} u_n ; pour une série convergente, R_N → 0.

Propriété : la nature d'une série ne change pas si on modifie un nombre fini de termes ; la somme, elle, change.

Série géométrique : Σ q^n converge si et seulement si |q| < 1, et alors

Σ_{n≥0} q^n = 1 / (1 − q)

Exemple : Σ_{n≥0} (2/3)^n = 1 / (1 − 2/3) = 3.

Série télescopique : si u_n = v_n − v_{n+1}, alors S_N = v_0 − v_{N+1}. La série converge si et seulement si (v_n) converge, et la somme vaut v_0 − lim v_n.

Exemple : 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1), donc Σ_{n≥1} 1/(n(n+1)) = 1.

2. Condition nécessaire de convergence

Propriété : si Σ u_n converge, alors u_n → 0. En effet u_n = S_n − S_{n−1} → S − S = 0.

Attention : la réciproque est fausse. La série harmonique Σ 1/n diverge bien que 1/n → 0. Quand u_n ne tend pas vers 0, on parle de divergence grossière : Σ (n+1)/(2n+3) diverge car le terme général tend vers 1/2.

3. Séries à termes positifs : comparaison et équivalents

Quand u_n ≥ 0, la suite (S_N) est croissante : elle converge si et seulement si elle est majorée.

Propriété (comparaison) : si 0 ≤ u_n ≤ v_n à partir d'un certain rang, alors Σ v_n converge ⇒ Σ u_n converge, et Σ u_n diverge ⇒ Σ v_n diverge.

Propriété (équivalents) : si u_n ~ v_n et si les termes sont positifs à partir d'un certain rang, alors Σ u_n et Σ v_n ont la même nature. L'hypothèse de signe est indispensable.

Exemple : 1 − cos(1/n) ~ 1/(2n²) et Σ 1/n² converge, donc Σ (1 − cos(1/n)) converge.

4. Séries de référence

• Géométrique : Σ q^n converge ⇔ |q| < 1.
• Riemann : Σ 1/n^α converge ⇔ α > 1 (justification : comparaison avec l'intégrale de 1/x^α).
• Bertrand : Σ 1/(n^α (ln n)^β) converge ⇔ α > 1, ou α = 1 et β > 1.
• Exponentielle : Σ x^n / n! converge pour tout réel x et vaut e^x.

Exemple : Σ 1/√n diverge (α = 1/2 ≤ 1) ; Σ 1/(n√n) converge (α = 3/2).

5. Critères de d'Alembert et de Cauchy

Propriété (d'Alembert) : si u_n > 0 et u_{n+1}/u_n → l, alors la série converge si l < 1, diverge si l > 1, et on ne peut rien conclure si l = 1.

Propriété (Cauchy) : si u_n ≥ 0 et (u_n)^(1/n) → l, même conclusion.

Exemples : pour u_n = 2^n / n!, le rapport vaut 2/(n+1) → 0 : convergence. Pour u_n = 3^n / n², le rapport tend vers 3 : divergence. Pour u_n = (n/(n+1))^(n²), la racine n-ième vaut (1 + 1/n)^(−n) → 1/e < 1 : convergence.

Attention : pour Σ 1/n et Σ 1/n², le rapport tend vers 1 et pourtant l'une diverge et l'autre converge.

6. Séries alternées et convergence absolue

Propriété (critère spécial des séries alternées) : si (a_n) est positive, décroissante et tend vers 0, alors Σ (−1)^n a_n converge, et le reste vérifie |R_N| ≤ a_{N+1}.

Définition : Σ u_n est absolument convergente si Σ |u_n| converge. Toute série absolument convergente est convergente. Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

Exemple : Σ (−1)^n / √n converge (critère des séries alternées) mais Σ 1/√n diverge : la convergence est semi-convergente.

7. Méthode pour étudier une série

• Étape 1 : vérifier si u_n → 0 ; sinon, divergence grossière.
• Étape 2 : si le terme est positif, chercher un équivalent simple et le comparer à une série de référence (Riemann, géométrique).
• Étape 3 : en présence de factorielles, de puissances n-ièmes ou de n^n, essayer d'Alembert ou Cauchy.
• Étape 4 : si le signe alterne, étudier d'abord |u_n| ; sinon appliquer le critère des séries alternées.
• Étape 5 : pour calculer une somme, penser à la décomposition en éléments simples (télescopage) ou à la série géométrique.