Cours de Algèbre linéaire – Licence 2

Réduire un endomorphisme, c'est trouver une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible : diagonale si c'est faisable, triangulaire sinon. Le chapitre définit valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres, calcule le polynôme caractéristique, établit le critère de diagonalisabilité (somme des dimensions des sous-espaces propres égale à n) et donne la méthode pratique…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Réduction des endomorphismes

1. Valeurs propres et vecteurs propres

Définition : soit A une matrice carrée n × n (ou f un endomorphisme d'un espace E de dimension n). Un scalaire λ est une valeur propre de A s'il existe un vecteur non nul v tel que A v = λ v. Le vecteur v est alors un vecteur propre associé à λ.

Définition : le sous-espace propre associé à λ est E_λ = ker(A − λ I) = {v : A v = λ v}. Il contient le vecteur nul et tous les vecteurs propres de λ.

Propriété : des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. Plus généralement, les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.

2. Polynôme caractéristique

Définition : P_A(λ) = det(A − λ I). Ses racines sont exactement les valeurs propres de A. Son degré est n et on a

somme des valeurs propres = trace(A), produit des valeurs propres = det(A)

(valeurs propres comptées avec multiplicité, dans C).

Exemple : A = [[2, 1], [1, 2]]. P_A(λ) = (2 − λ)² − 1 = (λ − 1)(λ − 3). Valeurs propres 1 et 3. Pour λ = 3, on résout x = y : vecteur (1, 1). Pour λ = 1 : y = −x, vecteur (1, −1).

Propriété : la dimension de E_λ est comprise entre 1 et la multiplicité m_λ de λ comme racine de P_A.

3. Diagonalisabilité

Définition : A est diagonalisable s'il existe P inversible et D diagonale telles que A = P D P⁻¹, c'est-à-dire s'il existe une base de vecteurs propres.

Propriété (critères) : A est diagonalisable si et seulement si P_A est scindé (produit de facteurs de degré 1) et si, pour chaque valeur propre λ, dim E_λ = m_λ. En particulier, si A a n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable. Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable (chapitre suivant).

Exemple (non diagonalisable) : A = [[1, 1], [0, 1]] a la valeur propre double 1, mais E_1 = ker [[0, 1], [0, 0]] est de dimension 1 < 2.

4. Méthode de diagonalisation

Méthode :

• Calculer P_A et ses racines.
• Pour chaque valeur propre λ, déterminer une base de E_λ en résolvant (A − λ I) X = 0.
• Vérifier que la somme des dimensions des E_λ vaut n.
• Former P avec les vecteurs propres en colonnes et D avec les valeurs propres dans le même ordre : A = P D P⁻¹.

Exemple : A = [[4, 1], [2, 3]]. P_A = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Vecteurs propres : (1, −2) pour 2 et (1, 1) pour 5. P = [[1, 1], [−2, 1]], D = diag(2, 5).

5. Trigonalisation et théorème de Cayley-Hamilton

Propriété : toute matrice dont le polynôme caractéristique est scindé est semblable à une matrice triangulaire supérieure. Sur C, c'est toujours le cas.

Théorème (Cayley-Hamilton) : P_A(A) = 0.

Exemple : pour A = [[4, 1], [2, 3]], A² − 7A + 10 I = 0, donc A (7I − A) = 10 I et A⁻¹ = (7 I − A)/10.

6. Puissances d'une matrice

Si A = P D P⁻¹, alors Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹, avec Dⁿ obtenue en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance n.

Pour A non diagonalisable de valeur propre double λ, on écrit A = λ I + N avec N nilpotente (N² = 0), donc Aⁿ = λⁿ I + n λ^(n−1) N (formule du binôme, I et N commutent).

Exemple : pour A = [[4, 1], [2, 3]], Aⁿ = (1/3) [[2ⁿ + 2·5ⁿ, −2ⁿ + 5ⁿ], [−2·2ⁿ + 2·5ⁿ, 2·2ⁿ + 5ⁿ]].

7. Méthode pour les examens

• Toujours vérifier la trace et le déterminant pour contrôler les valeurs propres.
• Un vecteur propre est non nul par définition : ne jamais proposer 0.
• Valeur propre double ne veut pas dire non diagonalisable : comparer dim E_λ et la multiplicité.
• Vérifier P D = A P sur les colonnes avant de conclure.
• Pour Aⁿ, tester la formule pour n = 0 (identité) et n = 1 (matrice A).