Cours de Mathématiques pour la physique – Licence 1

Le calcul vectoriel est le langage de la physique : forces, vitesses, champs, moments sont des vecteurs. Ce chapitre rappelle les composantes et la norme dans une base orthonormée, puis développe le produit scalaire (angles, projections, travail), le produit vectoriel (aires, moments, directions perpendiculaires) et le produit mixte (volumes). Il présente aussi la base mobile des coordonnées…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Vecteurs

1. Vecteurs, composantes et norme

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (intensité). Dans une base orthonormée directe (i, j, k), on écrit v = (v_x, v_y, v_z) = v_x i + v_y j + v_z k. La norme est

|v| = √(v_x² + v_y² + v_z²)

Opérations : la somme et la différence s'effectuent composante par composante, et le produit par un scalaire λ multiplie toutes les composantes. Un vecteur unitaire dans la direction de v est v/|v|. Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales.

Exemple : v = (1, 2, 2) a pour norme √(1 + 4 + 4) = 3 et pour vecteur unitaire (1/3, 2/3, 2/3).

2. Produit scalaire

Définition : le produit scalaire de a et b est le nombre

a · b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |a| |b| cos θ

où θ est l'angle entre les deux vecteurs. Il est commutatif, distributif par rapport à l'addition, et a · a = |a|².

Conséquences :

• a · b = 0 si et seulement si a et b sont orthogonaux (si aucun n'est nul) ;
• l'angle se calcule par cos θ = a · b / (|a| |b|) ;
• la projection de a sur la direction d'un vecteur unitaire u est a · u, et la composante vectorielle est (a · u) u.

Application : le travail d'une force F lors d'un déplacement rectiligne d est W = F · d.

3. Produit vectoriel

Définition : le produit vectoriel c = a × b est le vecteur

c = (a_y b_z − a_z b_y ; a_z b_x − a_x b_z ; a_x b_y − a_y b_x)

Il est orthogonal à a et à b, de sens donné par la règle de la main droite (le trièdre (a, b, c) est direct) et de norme |a| |b| sin θ, égale à l'aire du parallélogramme construit sur a et b.

Propriétés :

• anticommutativité : a × b = − b × a ;
• a × b = 0 si a et b sont colinéaires, en particulier a × a = 0 ;
• distributivité par rapport à l'addition ;
• base directe : i × j = k, j × k = i, k × i = j.

Attention : le produit vectoriel n'est pas associatif. On utilise la formule du double produit vectoriel : a × (b × c) = b (a · c) − c (a · b).

4. Produit mixte

Définition : le produit mixte de trois vecteurs est [a, b, c] = a · (b × c). C'est le déterminant de la matrice formée par leurs composantes. Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède construit sur a, b et c. Il est invariant par permutation circulaire et change de signe par échange de deux vecteurs. Il est nul si les trois vecteurs sont coplanaires.

Exemple : le volume d'un tétraèdre construit sur trois vecteurs est |[a, b, c]|/6.

5. Applications en physique

• Moment d'une force par rapport à un point O : M_O = OM × F.
• Moment cinétique : L = OM × m v.
• Force magnétique sur une charge q : F = q v × B.
• Vitesse d'un point d'un solide en rotation : v = ω × r.

Remarque : dans ces formules, l'ordre des facteurs compte, puisque le produit vectoriel est anticommutatif.

6. Coordonnées polaires et base mobile

Pour un mouvement plan, on utilise la base mobile (e_r, e_θ) avec

e_r = cos θ i + sin θ j et e_θ = − sin θ i + cos θ j

Le vecteur position est OM = r e_r. Les dérivées des vecteurs de base sont de(e_r)/dt = θ' e_θ et de(e_θ)/dt = − θ' e_r. On obtient

v = r' e_r + r θ' e_θ

a = (r'' − r θ'²) e_r + (r θ'' + 2 r' θ') e_θ

Pour un cercle (r = R constant), v = R θ' e_θ et a = −R θ'² e_r + R θ'' e_θ : on retrouve l'accélération centripète.

7. Dérivée d'un vecteur

Un vecteur dont la norme est constante a une dérivée orthogonale à lui-même, car d(a · a)/dt = 2 a · da/dt = 0. C'est le cas du vecteur vitesse d'un mouvement circulaire uniforme. Les règles de dérivation d'un produit s'étendent : d(a · b)/dt = a' · b + a · b' et d(a × b)/dt = a' × b + a × b'.

8. Retenir l'essentiel

• Produit scalaire = nombre (angles, projections, travail) ; produit vectoriel = vecteur (aires, moments, perpendiculaire).
• Vérifier un produit vectoriel : le résultat doit être orthogonal aux deux facteurs.
• Dans la base polaire, e_r et e_θ tournent avec le point : on doit les dériver.
• Les composantes dépendent de la base choisie, pas la norme ni le produit scalaire.