Cours de Analyse – Licence 1

Une suite réelle est une application de ℕ dans ℝ ; son comportement à l'infini est décrit par la notion de limite. Ce chapitre donne la définition avec ε, les opérations sur les limites, les théorèmes de comparaison (gendarmes), le théorème de la limite monotone et les suites adjacentes. Il traite aussi les suites arithmétiques, géométriques et les suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ), outils…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Suites numériques et limites

1. Suites réelles : vocabulaire

Définition : une suite réelle (uₙ) est une application de ℕ dans ℝ, n ↦ uₙ. On la définit soit explicitement (uₙ = f(n)), soit par récurrence (u₀ donné et uₙ₊₁ = f(uₙ)).

Une suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout n, monotone si elle est l'un ou l'autre. Elle est majorée s'il existe M tel que uₙ ≤ M pour tout n, minorée s'il existe m tel que uₙ ≥ m, bornée si elle est majorée et minorée.

Méthode : pour étudier le sens de variation, on étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ ou, si uₙ > 0, on compare uₙ₊₁/uₙ à 1.

2. Définition de la limite

Définition : la suite (uₙ) converge vers ℓ ∈ ℝ si, pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que, pour tout n ≥ N, |uₙ − ℓ| ≤ ε.

On écrit uₙ → ℓ. La limite, si elle existe, est unique. Une suite qui ne converge pas diverge. On dit que uₙ → +∞ si, pour tout A réel, il existe N tel que uₙ ≥ A dès que n ≥ N.

Exemple : uₙ = 1/n tend vers 0. En effet |1/n| ≤ ε dès que n ≥ 1/ε : il suffit de prendre N = ⌈1/ε⌉.

Propriété : toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse : uₙ = (−1)ⁿ est bornée mais diverge.

Attention : une suite peut diverger sans tendre vers l'infini (uₙ = (−1)ⁿ n'a pas de limite).

3. Opérations sur les limites

Propriété : si uₙ → ℓ et vₙ → ℓ′ (réels), alors uₙ + vₙ → ℓ + ℓ′, uₙ vₙ → ℓℓ′ et, si ℓ′ ≠ 0, uₙ/vₙ → ℓ/ℓ′.

Les formes indéterminées sont : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0. Dans ces cas il faut transformer l'expression.

Méthode : pour une fraction rationnelle en n, on factorise le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Exemple : (3n² + 2n)/(n² + 1) = (3 + 2/n)/(1 + 1/n²) → 3.

Pour une différence de racines, on multiplie par la quantité conjuguée : √(n+1) − √n = 1/(√(n+1) + √n) → 0.

Limites de référence : nᵅ → +∞ si α > 0 ; qⁿ → 0 si |q| < 1 ; qⁿ → +∞ si q > 1 ; la suite (qⁿ) diverge si q ≤ −1.

4. Théorèmes de comparaison

Propriété (passage à la limite) : si uₙ ≤ vₙ à partir d'un certain rang et si uₙ → ℓ, vₙ → ℓ′, alors ℓ ≤ ℓ′. Les inégalités strictes deviennent larges à la limite.

Théorème des gendarmes : si uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ à partir d'un certain rang et si uₙ et wₙ tendent vers la même limite ℓ, alors vₙ → ℓ.

Exemple : |sin n|/n ≤ 1/n, donc sin(n)/n → 0.

Si uₙ ≤ vₙ et uₙ → +∞, alors vₙ → +∞.

5. Monotonie, suites adjacentes

Théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers +∞.

Définition : deux suites (uₙ) et (vₙ) sont adjacentes si (uₙ) est croissante, (vₙ) décroissante et vₙ − uₙ → 0. Alors elles convergent vers la même limite ℓ et uₙ ≤ ℓ ≤ vₙ pour tout n.

Théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

6. Suites usuelles et suites récurrentes

Suite arithmétique de raison r : uₙ = u₀ + nr ; somme des n + 1 premiers termes u₀ + … + uₙ = (n + 1)(u₀ + uₙ)/2.

Suite géométrique de raison q : uₙ = u₀ qⁿ ; si q ≠ 1, u₀ + … + uₙ = u₀ (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).

Suite arithmético-géométrique : uₙ₊₁ = a uₙ + b avec a ≠ 1. On cherche le point fixe ℓ = b/(1 − a). La suite vₙ = uₙ − ℓ est géométrique de raison a, donc uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ) aⁿ.

Exemple : un commerçant de Thiès place 100 000 F CFA dans une tontine qui rapporte 5 % par an et y ajoute 10 000 F chaque année : Cₙ₊₁ = 1,05 Cₙ + 10 000.

Pour uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f continue, si (uₙ) converge vers ℓ, alors ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ. Il faut d'abord prouver que la suite converge (monotonie et bornes), puis résoudre f(ℓ) = ℓ.

7. Retenir l'essentiel

• Pour montrer une convergence : encadrement (gendarmes), monotonie et bornes, ou suites adjacentes.
• Pour lever une forme indéterminée : factoriser le terme dominant ou utiliser la quantité conjuguée.
• Une récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ) se traite en trois temps : bornes par récurrence, monotonie, passage à la limite dans f(ℓ) = ℓ.
• Ne jamais passer à la limite dans une récurrence avant d'avoir prouvé que la limite existe.