Cours de Mathématiques – 5ème

Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe + ou −, comme +3 ou −5. On les place sur une droite graduée, on les compare et on les additionne. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Ces nombres servent pour les températures, les altitudes, les comptes en banque ou les étages d'un immeuble. Dans ce chapitre, tu apprends à calculer sans te tromper de signe.

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Nombres relatifs : comparaison, addition et soustraction

1. Nombres positifs et nombres négatifs

Dans la vie, on a besoin de nombres pour dire « au-dessus de zéro » et « en dessous de zéro ».

• Un nombre positif s'écrit avec le signe + (ou sans signe) : +4 ou 4.
• Un nombre négatif s'écrit avec le signe − : −4.
• Zéro n'est ni positif ni négatif.

Exemples : une chambre froide à −18 °C ; un plongeur à −12 m (12 m sous la surface) ; un compte bancaire à −5 000 F (on doit 5 000 F à la banque) ; le deuxième sous-sol d'un parking, étage −2.

2. La droite graduée

Sur une droite graduée, on choisit une origine O (le zéro) et une unité. Les nombres positifs sont à droite de O, les nombres négatifs à gauche.

Le nombre qui repère un point est son abscisse.

Exemple : le point A d'abscisse −3 est à 3 graduations à gauche de O.

3. Opposé et distance à zéro

Définition : deux nombres sont opposés quand ils ont la même distance à zéro mais des signes différents.

Exemples : l'opposé de 7 est −7 ; l'opposé de −2 est 2 ; l'opposé de 0 est 0.

La distance à zéro de −7 et de 7 est la même : 7.

4. Comparer des nombres relatifs

• Un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif : −100 < 2.
• Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro : −2 > −9.
• Sur la droite graduée, le plus grand est celui qui est le plus à droite.

Exemple : on range −7 ; 3 ; −2 ; 0 dans l'ordre croissant : −7 < −2 < 0 < 3.

5. Addition de deux nombres relatifs

Propriété : pour additionner deux nombres de même signe, on garde le signe et on additionne les distances à zéro.

(+5) + (+3) = +8

(−4) + (−6) = −10

Propriété : pour additionner deux nombres de signes contraires, on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

(−7) + (+3) = −4

(+9) + (−12) = −3

Deux nombres opposés ont pour somme 0 : (−8) + (+8) = 0.

6. Soustraction

Propriété : soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

a − b = a + (−b)

Exemples :

(+5) − (+8) = (+5) + (−8) = −3

(−3) − (−7) = (−3) + (+7) = +4

(−6) − (+4) = (−6) + (−4) = −10

Attention : ne confonds pas le signe de l'opération et le signe du nombre. Dans 5 − (−2), le premier − est une soustraction, le second est le signe de −2. On obtient 5 + 2 = 7.

7. Suites d'additions et de soustractions

On peut effacer les parenthèses : + (+a) donne +a ; + (−a) donne −a ; − (+a) donne −a ; − (−a) donne +a.

Exemple : 7 − (−4) + (−10) − 6 = 7 + 4 − 10 − 6 = −5.

On peut regrouper : d'abord les positifs (7 + 4 = 11), puis les négatifs (−10 − 6 = −16), et on termine : 11 − 16 = −5.

8. Méthode pour le BFEM

• Repérer le signe de chaque nombre avant de calculer.
• Transformer chaque soustraction en addition de l'opposé.
• Pour les signes contraires, soustraire les distances à zéro et garder le signe du plus « fort ».
• Contrôler le résultat sur une droite graduée ou avec le contexte (température, altitude).
• Écrire une phrase de conclusion avec l'unité.