Cours de Mathématiques – Seconde

Les nombres s'organisent en ensembles emboîtés : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Les rationnels s'écrivent a/b, alors que des nombres comme √2 ou π sont irrationnels. On manipule les racines carrées, les puissances et les intervalles de R, et on utilise la valeur absolue |x − a| pour exprimer la distance entre deux nombres. Savoir encadrer un nombre et donner une valeur approchée est indispensable pour les…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Ensembles de nombres et calcul dans R

1. Les ensembles de nombres

N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...} est l'ensemble des entiers naturels.

Z contient les entiers relatifs : ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...

D est l'ensemble des nombres décimaux : ceux qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 0,25 ou −3,5.

Q est l'ensemble des rationnels : les quotients a/b d'un entier a par un entier b non nul, comme 1/3 ou −7/4.

R est l'ensemble des réels : tous les nombres de la droite numérique.

On a les inclusions N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Exemple : 1/3 est rationnel mais n'est pas décimal, car 1/3 = 0,3333...

2. Nombres irrationnels

Définition : un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Son écriture décimale est infinie et non périodique.

Exemples : √2, √3, π sont irrationnels. En revanche √16 = 4 est un entier.

Remarque : √2 est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1.

3. Racines carrées et puissances

Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 : √(ab) = √a × √b ; pour b > 0 : √(a/b) = √a / √b.

Attention : √(a + b) n'est pas égal à √a + √b. Par exemple √(9 + 16) = 5, alors que √9 + √16 = 7.

Exemple : √50 = √(25 × 2) = 5√2.

Pour rendre le dénominateur rationnel, on multiplie par la quantité conjuguée.

Exemple : 4/(√5 − 1) = 4(√5 + 1)/((√5 − 1)(√5 + 1)) = 4(√5 + 1)/4 = √5 + 1.

Règles sur les puissances (a non nul) :

a^m × a^n = a^(m+n) ; a^m / a^n = a^(m−n) ; (a^m)^n = a^(mn) ; a^(−n) = 1/a^n.

4. Les intervalles de R

[a ; b] : a ≤ x ≤ b (bornes incluses) ; ]a ; b[ : a < x < b (bornes exclues).

[a ; +∞[ : x ≥ a ; ]−∞ ; b[ : x < b. Le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini.

L'intersection A ∩ B contient les nombres communs aux deux ensembles ; la réunion A ∪ B contient ceux qui sont dans l'un ou dans l'autre.

Exemple : [−1 ; 4] ∩ ]2 ; 7[ = ]2 ; 4].

5. Valeur absolue et distance

Définition : la valeur absolue de x, notée |x|, vaut x si x ≥ 0 et −x si x ≤ 0. La distance entre a et b est |a − b|.

Propriétés pour r > 0 :

|x − a| = r équivaut à x = a − r ou x = a + r

|x − a| ≤ r équivaut à a − r ≤ x ≤ a + r

|x − a| ≥ r équivaut à x ≤ a − r ou x ≥ a + r

Exemple : |x − 3| ≤ 2 équivaut à x ∈ [1 ; 5].

6. Encadrement et valeur approchée

Encadrer x à 10⁻ⁿ près, c'est trouver deux décimaux a et b tels que a ≤ x ≤ b avec b − a = 10⁻ⁿ.

Exemple : 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42, et l'arrondi de √2 au centième est 1,41.

Un pesage « à 0,2 kg près » donnant 15 kg signifie 14,8 ≤ m ≤ 15,2, soit |m − 15| ≤ 0,2.

7. Méthode pour le BAC et le devoir

• Pour classer un nombre, chercher d'abord s'il s'écrit comme une fraction d'entiers.
• Pour une inéquation avec valeur absolue, traduire par une distance puis écrire la solution en intervalles.
• Simplifier une racine en cherchant le plus grand carré parfait qui divise le nombre.
• Ne jamais conclure avec un arrondi de calculatrice : écrire la valeur exacte quand c'est possible.